２の平方根は有理数でないことの証明 MathML版

１．

\sqrt{2}

が有理数ならば、整数 m, n があって、

\sqrt{2} = \frac{n}{m}

　　　．．．．．式①

この時、m とn とは素であるとしても一般性は失われない。　　∵

共通の約数がある場合には、その約数で m, n を割ればよい。

２．式①の両辺を二乗して

2 = \frac{n^{2}}{m^{2}}

　　よって　

2 m^{2} = n^{2}

　　　．．．．．式②

３．式②より

n^{2}

は偶数である。

が偶数であるとき、n も偶数である。　　∵

2 つの整数の積が偶数である場合、2 つの整数の一方または両方が偶数である。
従って、が偶数のとき、n も偶数である。

よって、整数 l が存在して

n = 2 l

　　　．．．．．式③

４．式③を式②に代入すると

2 m^{2} = {(2 l)}^{2}

　これは　

m^{2} = 2 l^{2}

従って、m も偶数となり、m , n ともに約数 2 を持ち、最初の前提に反する結果を得る。

よって、は有理数ではないことが証明された。

参考

注意

これは「数学は科学の女王にして奴隷」読書ノート作成のための技術的検討の過程で試みに作成したページです。
MathJax版も作成しています。