平方が D より小さい正の整数が存在する。その整数の最大を x とすると
${\displaystyle x^2<D<{(x+1)}^2}$　 ${\displaystyle m^2}$をかけると
${\displaystyle x^2{m}^2<D{m}^2<{(x+1)}^2{m}^2}$　 式①から
${\displaystyle x^2{m}^2<n^2<{(x+1)}^2{m}^2}$　従って

式①から ${\displaystyle D{m}^2=n^2}$
式②より n > xm だから ${\displaystyle D{m}^2>nxm}$　 よって ${\displaystyle Dm>nx}$

${\displaystyle \begin{array}{}{p}^2-D{o}^2={(Dm-xn)}^2-D{(n-xm)}^2\\ =D^2{m}^2-2Dmnx+n^2{x}^2-D(n^2-\mathrm{2n}mx+m^2{x}^2)\\ =D^2{m}^2-2Dmnx+n^2{x}^2-D{n}^2+2Dnmx-D{m}^2{x}^2\\ ={(Dm)}^2+n^2{x}^2-D{n}^2-D{m}^2{x}^2\\ =D(D{m}^2-n^2)-x^2(D{m}^2-n^2)\\ =(D{m}^2-n^2)(D-x^2)\\ =0\end{array}}$