0） 類、等号 $=$ 及び不等号 $\neq$ 。　　∵（開く）

1-1） $a, b$ が類に属するならば $a\oplus b$ はこの類に属する。（ $\oplus$ に関して閉じている。）
1-2） $a, b$ が類に属するならば $a\otimes b$ はこの類に属する。（ $\otimes$ に関して閉じている。）

2-1） 類に属する任意の $a$ に対し $a\oplus 0=a$ となる要素 $0$ が存在する。（ $\oplus$ に関し恒等元をもつ。）
2-2） 類に属する任意の $a$ に対し $a\otimes 1=a$ となる要素 $1$ が存在する。（ $\otimes$ に関し恒等元をもつ。）

3-1） $a, b$ が類に属するならば $a\oplus b=b\oplus a$。（ $\oplus$ は可換である。）
3-2） $a, b$ が類に属するならば $a\otimes b=b\otimes a$。（ $\otimes$ は可換である。）

4-1） $a, b, c$ が類に属するならば $a\oplus(b\otimes c)=(a\oplus b)\otimes(a\oplus c)$。（ $\oplus$ は交換法則を満たす。）
4-2） $a, b, c$ が類に属するならば $a\otimes(b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus(a\otimes c)$。 （ $\otimes$ は交換法則を満たす。）

5） 類に属する任意の $a$ に対し $a\oplus\overline{a}=1$ 、$a\otimes\overline{a}=0$ を満たす要素 $\overline{a}$ が存在する。 $\overline{a}$ を $a$ の補元という。

6） 類には少なくとも二つの要素が存在して、それを $x, y$ とすれば $x\neq y$ となる。

二つあるとして、それを $0$ と $z$ とすると、任意の $a, b$ に対し
$a\oplus 0=a, b\oplus z=b$
$a$ を $z$ とおくと$z\oplus 0=z$
$b$ を $0$ とおくと$0\oplus z=0$ 公準 3-1）により $z\oplus 0=0$
よって推移率により $z=0$。

公準 4-1）の $b$ を $a$ 、 $c$ を $\overline{a}$ とおくと $a\oplus(a\otimes\overline{a})=(a\oplus a)\otimes(a\oplus\overline{a})$
この式は公準 5）より $a\oplus 0=(a\oplus a)\otimes 1$
公準 2-1）、公準 2-2） により $a=a\oplus a$ 。

公準 4-1）の $b$ を $\overline{a}$ 、$c$ を $1$ とおくと $a\oplus(\overline{a}\otimes 1)=(a\oplus\overline{a})\otimes(a\oplus 1)$
この式は公準 2-2）より $a\oplus\overline{a}=(a\oplus\overline{a})\otimes(a\oplus 1)$ 従って、公準5） より $1=a\oplus 1$。

公準 2-2）により、左辺 $a\oplus(a\otimes b)=(a\otimes 1)\oplus(a\otimes b)$
公準 4-2） の $b$ を $1$、 $c$ を $b$ とおいて$(a\otimes 1)\oplus(a\otimes b)=a\otimes(1\oplus b)$
定理 9-1） により $a$。

二つあるとして、それを $\overline{a}$ と $\hat{a}$ とすると
$a\oplus\overline{a}=1$ ．．．．①
$a\otimes\overline{a}=0$ ．．．．②
$a\oplus\hat{a}=1$ ．．．．③
$a\otimes\hat{a}=0$ ．．．．④

①より　$\hat{a}=(a\oplus\overline{a})\otimes\hat{a}$　 公準 4-2） により
$=a\otimes\hat{a}\oplus\overline{a}\otimes\hat{a}$　④から
$=\overline{a}\otimes\hat{a}$。

同様に、③より$\overline{a}=\hat{a}\otimes\overline{a}$ を得る。
従って $\overline{a}=\hat{a}$

$a\oplus b$の補元が $\overline{a}\otimes\overline{b}$ であることを示せばよい。
そのためには $(a\oplus b)\oplus(\overline{a}\otimes\overline{b})=1$ かつ $(a\oplus b)\otimes(\overline{a}\otimes\overline{b})=0$ を示せばよい。
公準 4-1） により $(a\oplus b)\oplus(\overline{a}\otimes\overline{b})=((a\oplus b)\oplus\overline{a})\otimes((a\oplus b)\oplus\overline{b})$　定理 13-1）、公準 5） により
$=(1\oplus b)\otimes(a\oplus 1)$ この式は定理 9-1） により $1$。
（定理12 の証明に定理13を使用しているが、定理13の証明に定理12を使っていないので問題ない。 しかし、気持ち悪いので別証明∵（開く））
また、 公準 4-2） により $(a\oplus b)\otimes(\overline{a}\otimes\overline{b})=((\overline{a}\otimes\overline{b})\otimes a)\oplus((\overline{a}\otimes\overline{b})\otimes b)$ 定理 13-2）、公準 5） により
$=(\overline{b}\otimes 0)\oplus(\overline{a}\otimes 0)$ この式は定理 9-2） により $0$。

右辺　$a\oplus(b\oplus c)=1\otimes(a\oplus(b\oplus c))$
$=(a\oplus\overline{a})\otimes(a\oplus(b\oplus c))$
$=(a\otimes(a\oplus(b\oplus c))\oplus(\overline{a}\otimes(a\oplus(b\oplus c)))$　 定理 10-2)から $a\otimes(a\oplus(b\oplus c))=a$ なので
$=a\oplus(\overline{a}\otimes(a\oplus(b\oplus c)))　　$展開すると
$=a\oplus((\overline{a}\otimes a)\oplus(\overline{a}\otimes(b\oplus c)))$
$=a\oplus((\overline{a}\otimes a)\oplus((\overline{a}\otimes b)\oplus(\overline{a}\otimes c)))$ 　公準 5）から $\overline{a}\otimes a=0$ だから
$=a\oplus((\overline{a}\otimes b)\oplus(\overline{a}\otimes c))$
$=a\oplus((0\oplus(\overline{a}\otimes b))\oplus(\overline{a}\otimes c))$ 　公準 5）から
$=a\oplus(((\overline{a}\otimes a)\oplus(\overline{a}\otimes b))\oplus(\overline{a}\otimes c))$
$=a\oplus((\overline{a}\otimes(a\oplus b))\oplus(\overline{a}\otimes c))$
$=a\oplus((\overline{a}\otimes((a\oplus b)\oplus c))$ 　　ここで $a=a\otimes((a\oplus b)\oplus c)$ ∵（開く）　なので　　　
$=(a\otimes((a\oplus b)\oplus c))\oplus((\overline{a}\otimes((a\oplus b)\oplus c))$
$=(a\oplus\overline{a})\otimes((a\oplus b)\oplus c))=(a\oplus b)\oplus c$。