「数学は科学の女王にして奴隷」読書ノート１ MathML版

文庫版Ⅰの１１８ｐから１２０ｐブール代数の公準と定理の証明

定義と公準　　　　　　　∴（閉じる）

0）類、等号 = 及び不等号 ≠ 。　　∴（閉じる）

0-0）類あるいは集合
我々は類を定義せず、とにかくある類（これを C とおく）とあるもの（ i とおく）が与えられたとき、
i が C の構成要素であるか否かを直感的に認識できると仮定する。
もし i が C の構成要素ならば、i は C に属するという。

0-1） $a = b$ か、その否定 $a \neq b$ かのどちらか一方だけが成り立つ。

0-2） $a = a$ である。

0-3）ならば $b = a$ である。

0-4） a, b, c が類 K に属しかつ $b = c$ ならば $a = c$ である。

0-5）もし a, b, c ... が類 K の部分集合ならば、とは

”a に属する要素は全て b に属し、 b に属する要素は全て a に属する”ことである。
このことを” a は b を含み、かつ b は a を含むともいう。

1-1） a, b が類に属するならば $a \oplus b$ はこの類に属する。

1-2） a, b が類に属するならば $a \otimes b$ はこの類に属する。

2-1）類に属する任意の a に対し $a \oplus 0 = a$ となる要素 0 が存在する。

2-2）類に属する任意の a に対し $a \otimes 1 = a$ となる要素 1 が存在する。

3-1） a, b が類に属するならば $a \oplus b = b \oplus a$ 。

3-2） a, b が類に属するならば $a \otimes b = b \otimes a$ 。

4-1） a, b, c が類に属するならば $a \oplus (b \otimes c) = (a \oplus b) \otimes (a \oplus c)$ 。

4-2） a, b, c が類に属するならば $a \otimes (b \oplus c) = (a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$ 。

5）類に属する任意の a に対し $a \oplus \bar{a} = 1$ $a \otimes \bar{a} = 0$ を満たす要素 $\bar{a}$ が存在する。を a の補元という。

6）類には少なくとも二つの要素が存在して、それを x, y とすれば $x \neq y$ となる。

定理とその証明

公準系は 1) と 2) が対になっている（双対性）ので、演算子の変換により一方から他方が導ける。対になっている定理は 1) のみ証明する。

7-1）公準 2-1）の要素 0 は唯一つしかない。　　∵

二つあるとして、それを 0 と o とすると、任意の a, b に対し

a \oplus 0 = a

、

b \oplus o = b

a を o とおくと

o \oplus 0 = o

b を 0 とおくと

0 \oplus o = 0

　公準 3-1）により

o \oplus 0 = 0

よって定義 0-4）により o = 0 。

7-2）公準 2-2）の要素 1 は唯一つしかない。

8-1） $a \oplus a = a$ 　　∵

公準 4-1）の b を a 、 c をとおくと

a \oplus (a \otimes \bar{a}) = (a \oplus a) \otimes (a \oplus \bar{a})

公準 5）より

a \oplus 0 = (a \oplus a) \otimes 1

公準 2-1）、公準 2-2）により。

8-2） $a \otimes a = a$

9-1） $a \oplus 1 = 1$ 　　∵

公準 4-1）の b を、c を 1 とおくと

a \oplus (\bar{a} \otimes 1) = (a \oplus \bar{a}) \otimes (a \oplus 1)

公準 2-2）より

a \oplus \bar{a} = (a \oplus \bar{a}) \otimes (a \oplus 1)

従って、公準5）より。

9-2） $a \otimes 0 = 0$

10-1） $a \oplus (a \otimes b) = a$ 　　∵

公準 2-2）により、左辺

a \oplus (a \otimes b) = (a \otimes 1) \oplus (a \otimes b)

公準 4-2）の b を 1、 c を b とおいて

(a \otimes 1) \oplus (a \otimes b) = a \otimes (1 \oplus b)

定理 9-1）により a 。

10-2） $a \otimes (a \oplus b) = a$

11）公準 5）の要素は a によってただ一つに定まる。　　∵

二つあるとして、それをと

\hat{a}

とすると
．．．．①
．．．．②

a \oplus \hat{a} = 1

．．．．③

a \otimes \hat{a} = 0

．．．．④

\bar{a} = 1 \otimes \bar{a}

　③から

1 \otimes \bar{a} = (a \oplus \hat{a}) \otimes \bar{a}

公準 4-2）により　

(a \oplus \hat{a}) \otimes \bar{a} = (a \otimes \bar{a}) \oplus (\hat{a} \otimes \bar{a})

②により　

(a \otimes \bar{a}) \oplus (\hat{a} \otimes \bar{a}) = \hat{a} \otimes \bar{a}

。
同様に、　

\hat{a} = \hat{a} \otimes \bar{a}

。　従って

\hat{a} = \bar{a}

。

12-1） $a \oplus b = \bar{\bar{a} \otimes \bar{b}}$ 　　　∵

a \oplus b

の補元が

\bar{a} \otimes \bar{b}

であることを示せばよい。
そのためには

(a \oplus b) \oplus (\bar{a} \otimes \bar{b}) = 1

かつ

(a \oplus b) \otimes (\bar{a} \otimes \bar{b}) = 0

を示せばよい。

公準 4-1）により

(a \oplus b) \oplus (\bar{a} \otimes \bar{b}) = ((a \oplus b) \oplus \bar{a}) \otimes ((a \oplus b) \oplus \bar{b})

定理 13-1）、公準 5）により

((a \oplus b) \oplus \bar{a}) \otimes ((a \oplus b) \oplus \bar{b}) = (1 \oplus b) \otimes (a \oplus 1)

定理 9-1）により

(1 \oplus b) \otimes (a \oplus 1) = 1

（定理12 の証明に定理13を使用しているが、定理13の証明には定理12は利用していないので問題ない。しかし、気持ち悪いので定理13を使用しない別証明　∵）

(a \oplus b) \oplus \bar{a} = 1

を示せばよい。

(a \oplus b) \oplus \overset{ˉ}{a} = (a \oplus \overset{ˉ}{a}) \otimes ((a \oplus b) \oplus \overset{ˉ}{a})

a \otimes ((a \oplus b) \oplus \overset{ˉ}{a}) \oplus (\overset{ˉ}{a} \otimes ((a \oplus b) \oplus \overset{ˉ}{a}))

　　定理10-2)により
=

a \otimes ((a \oplus b) \oplus \overset{ˉ}{a}) \oplus \overset{ˉ}{a}

(a \otimes (a \oplus b) \oplus a \otimes \overset{ˉ}{a}) \oplus \overset{ˉ}{a}

　　公準 5）により
=

a \otimes (a \oplus b) \oplus \overset{ˉ}{a}

　　定理10-2)により
=

a \oplus \overset{ˉ}{a} = 1

また、公準 4-2）により

(a \oplus b) \otimes (\bar{a} \otimes \bar{b}) = ((\bar{a} \otimes \bar{b}) \otimes a) \oplus ((\bar{a} \otimes \bar{b}) \otimes b)

定理 13-2）、公準 5）により

((\bar{a} \otimes \bar{b}) \otimes a) \oplus ((\bar{a} \otimes \bar{b}) \otimes b) = (\bar{b} \otimes 0) \oplus (\bar{a} \otimes 0)

定理 9-2）により

(\bar{b} \otimes 0) \oplus (\bar{a} \otimes 0) = 0

12-2） $a \otimes b = \bar{\bar{a} \oplus \bar{b}}$

13-1） $(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$ 　　　∵

右辺　

a \oplus (b \oplus c) = 1 \otimes (a \oplus (b \oplus c)) = (a \oplus \bar{a}) \otimes (a \oplus (b \oplus c))

(a \otimes (a \oplus (b \oplus c)) \oplus (\bar{a} \otimes (a \oplus (b \oplus c))))

　　定理10-2)から

a \otimes (a \oplus (b \oplus c)) = a

なので
=

a \oplus (\bar{a} \otimes (a \oplus (b \oplus c)))

　展開すると
=

a \oplus ((\bar{a} \otimes a) \oplus (\bar{a} \otimes (b \oplus c)))

a \oplus ((\bar{a} \otimes a) \oplus ((\bar{a} \otimes b) \oplus (\bar{a} \otimes c)))

　公準 5）から

a \otimes \bar{a} = 0

a \oplus (((\bar{a} \otimes b) \oplus (\bar{a} \otimes c)))

a \oplus (((0 \oplus (\bar{a} \otimes b)) \oplus (\bar{a} \otimes c)))

　公準 5）から
=

a \oplus ((((\bar{a} \otimes a) \oplus (\bar{a} \otimes b)) \oplus (\bar{a} \otimes c)))

a \oplus ((\bar{a} \otimes (a \oplus b)) \oplus (\bar{a} \otimes c))

a \oplus (\bar{a} \otimes ((a \oplus b) \oplus c))

　　ここで

a = a \otimes ((a \oplus b) \oplus c)

　∵　なので　　　

a \otimes ((a \oplus b) \oplus c) = a \otimes (a \oplus b) \oplus a \otimes c

　定理 10-2）により
=

a \oplus a \otimes c

　定理 10-1）により = a 。

(a \otimes ((a \oplus b) \oplus c)) \oplus (\bar{a} \otimes ((a \oplus b) \oplus c))

((a \oplus b) \oplus c) \otimes (\bar{a} \oplus a) = (a \oplus b) \oplus c

13-2） $(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$